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title: 환(Ring)
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description: 대수에서의 환
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published: true
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2023-02-12 03:20:20 +09:00
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date: 2023-02-11T18:20:16.120Z
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tags: 대수
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editor: markdown
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dateCreated: 2020-09-22T12:10:21.670Z
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# 환(Ring)
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환(Ring) $R = (R,+,\cdot,1)$은 다음과 같은 두 이항연산과 원소 1있는 집합 $R$이다.
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- $(R,+$)는 [아벨군](/math/아벨군)이다.
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- $(R,\cdot,1)$은 [모노이드(Monoid)](/math/모노이드)이다.
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- 곱은 분배적이다.
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마지막 조건은 뜻하는 것은 $a,b,c \in R$인 모든 세 원소가,
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$$a(b+c)=ab+ac,\text{ }(a+b)c=ac+bc$$
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를 만족한다는 것이다.
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## 환 만들기(Constructions for rings)
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한 환(Ring)으로부터 여러가지 환을 만들기.
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### 부분환(Subrings)
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### Function ring
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환 R과 집합 X에 대해서 $R^X$의 덧셈과 곱셈을
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$$(f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x)$$
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라고 하면 환을 이룬다.
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### $\text{End}(A)$
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[아벨군](/math/아벨군)의 endomorphism으로도 환을 만들 수 있다.
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아벨군 $A$에 대해서, 그 $\text{End}(A)$를 원소로 하고 덧셈과 곱셈을 이렇게 정의하자.
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$f,g\in End(A)$와 $a\in A$에 대해서,
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$$(f+g)(a)=f(a)+g(a), (f\cdot g)(a)=f(g(a))$$
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라고 하면 이것이 환(Ring)이 된다.
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#### 증명
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## 잉여환(Quotient rings)
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## 정역과 체(Integral Domain and field)
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## 다항식환(polynomial rings)
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## 함수로서의 다항식(Polynomials as functions)
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## 나눗셈 알고리즘(The division algorithm)
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## 주아이디얼역(Principal ideal domains)
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## 소체(Prime fields)
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## 유클리드 알고리즘(The euclidean algorithm)
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## 교환잉여환(Commutative quotient rings)
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