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Sandbox.md

@@ -0,0 +1,49 @@
+---
+title: Sandbox
+description: 
+published: true
+date: 2020-09-22T08:57:45.548Z
+tags: 
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-22T08:29:08.474Z
+---
+
+# Sandbox
+
+## testtesttest
+
+### dff
+
+#### 44444
+
+##### 55555
+
+test things
+
+----
+
+```python
+def fac(n):
+	if n == 1: return 1
+  else: return n*fac(n-1)
+```
+
+`\frac{5, 4}`
+
+> Comments here!
+
+- [ ] An empty todo
+- [x] finished
+
+```kroki
+graphviz
+
+digraph {
+	A -> B;
+	B -> C;
+}
+```
+
+## Katex
+
+$$\frac5 4 + \frac3 6 = \frac{21}{12}$$

home.md

@@ -0,0 +1,13 @@
+---
+title: Welcome to My wiki
+description: welcome message of my wiki
+published: true
+date: 2020-09-21T12:49:28.176Z
+tags: 
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-21T12:49:25.655Z
+---
+
+# Welcom to my Wiki
+
+Public domain

군(수학).md

@@ -0,0 +1,62 @@
+---
+title: 군(수학)(Group)
+description: Group
+published: true
+date: 2020-09-26T14:22:04.517Z
+tags: 대수
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-22T07:04:46.800Z
+---
+
+# 군(Group)
+군은 [집합](/집합(수학)) G과 [집합](/집합(수학)) G위에 다음과 같은 이항연산 $G \times G \rarr G$가 있는 것을 말한다:
+
+- 결합법칙이 성립한다.
+- $\forall a \in G, ua = a = au$인  $u\in G$가 존재한다.
+- $\forall a \in G, aa^{-1}=a^{-1}a=u$인 $a^{-1}\in G$가 존재한다.
+
+이때 $u$를 항등원(identity element)라고 부르고 $a^{-1}$을 a의 역원(inverse of a)라고 한다.
+$|G|$는 $G$의 원소 수를 말하며, 군의 위수(Order)라고 부른다.
+
+## 군의 예
+
+- 정수의 집합과 이항연산 +에 대해서, $(\Z,+)$는 군이다.
+- 집합 $\{-1,1\}$과 이항연산 $\cdot$에 대해서 $(\{1,-1\},\cdot)$ 는 군이다.
+
+## 군의 사상(Morphism of group)
+
+군 $(G,\cdot)$의 사상은 군$(H,*)$에 대해 다음과 같은 조건을 만족하는 함수 $f:G\rarr H$이다.
+$$f(a\cdot b)=f(a)* f(b)$$
+
+## 순환군(Cyclic group)
+어떤 군 $G$에 대해서,
+$$\{a^n|a\in G,n \in \N\}$$
+를 순환군이라고 한다. 이때 $a$를 군의 생성원(generator)이라고 한다.
+
+## 부분군(Subgroup)
+
+[집합](/집합(수학)) $H$가 있어서, $H \subset G$이고 H가 G의 연산에 대해 군이면 H를 G의 부분군이라고 한다.
+삽입사상 $i:H\rarr G$가 있다.
+
+## 관계로서 군의 표현과 자유군(Groups presentation as defining relation and free group)
+aphabet이 있다. concat 연산이 있다.이것이 자유구.ㄴ
+## 대칭군$S_n$과 교환군$A_n$ (Symmetric and Alternating groups)
+$f:n\rarr n$를 원소로 가지는 군이다. (1 2 3 4 5) 라는 열이 있을 때, (2 1 3 4 5) 같이 치환하는 연산들로 이루어진것.
+
+$S_n/\Z_2\cong A_n$
+
+## 변환군(Transformation groups)
+
+대칭군의 일반화.
+
+## 잉여(Cosets)
+군의 원소 여럿을 묶기. 묶은 것으로 연산하기.
+$h:G\rarr H, h \in \hom(G,H)$를 생각하자.
+
+## 핵과 상(Kernel and Image)
+$\ker(h)=\lbrace a\in G|h(a)=0 \rbrace$
+$\text{img}(a)$
+### 정규부분군(Normal subgroup)
+$g\in G,n \in N, gng^{-1}\in N$
+## 잉여군(Quotient Groups)
+

리스프.md

@@ -0,0 +1,16 @@
+---
+title: 리스프(Lisp)
+description: 리스프 프로그래밍언어
+published: true
+date: 2020-09-29T15:18:27.240Z
+tags: 
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-29T15:18:24.712Z
+---
+
+# 리스프
+리스프(Lisp, LISP) 혹은 리습은 프로그래밍 언어의 계열로서, 오랜 역사와 독특하게 괄호를 사용하는 문법이다.
+
+LISP 라는 이름 자체는 "LISt Processing"(리스트 프로세싱)의 줄임말이다. 연결 리스트는 리스프의 주요 자료구조 중 하나로서, 리스프 코드는 그 자체로 하나의 리스트이다.
+
+코드와 데이터가 교환이 가능하다는 것은 리스프 그 자체에 있어 코드를 즉각 해석할 수 있는 능력을 준다. 전체 프로그램 코드는 S-표현식 이나 괄호로 묶인 리스트로 작성되며, 함수 호출의 경우 함수 이름 혹은 연산자가 첫 번째로 위치하여 피연산자가 이어 위치하게 된다. 예를 들면, 함수 f 가 a, b, c 라는 세 개의 피연산자를 가진 경우는 (f a b c)와 같이 표기한다.

모노이드.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+---
+title: 모노이드
+description:  수학의 모노이드
+published: true
+date: 2020-09-22T12:20:16.260Z
+tags: 대수
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-22T12:20:13.496Z
+---
+
+# 모노이드(Monoid)
+모노이드 $M$는 다음과 같은 이항연산을 가진 다음과 같은 집합 $M$을 말한다.
+- 모든 $a,b,c\in M$에 대해 $a(bc)=(ab)c$ (결합법칙(Associative law))
+- $a1=1a=a$인 원소 $1\in M$이 존재한다.
+
+## 모노이드의 예
+## 모노이드의 사상(Morphism of monoid)
+## 잉여 모노이드(Quotient monoid)
+## 자유 모노이드(Free monoid)

모듈(수학).md

@@ -0,0 +1,33 @@
+---
+title: 모듈(Module)
+description: 대수의 모듈
+published: true
+date: 2020-11-06T10:44:44.161Z
+tags: 대수
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-22T11:55:35.558Z
+---
+
+# 모듈(Module)
+$R$-모듈 $A$는 [환(Ring)](/환(수학)) $R$과 [아벨군(Abelian Group)](/아벨군) $A$위에 이항연산 $R \times A \rarr A$이 있고, 다음과 같은 [공리(Axiom)](/공리(수학))를 따르는 $A$이다.
+모든 $\kappa,\lambda \in R$과 $a,b \in A$에 대해서:
+$$\begin{array}{rcl}\kappa(a+b)&=&\kappa a+\kappa b,\\ (\kappa+\lambda)a&=&\kappa a+\lambda a,\\
+(\kappa \lambda)a&=& \kappa(\lambda a),\\ 1a&=&a.\end{array}$$
+좀더 명확하게, 이러한 모듈 $A$를 왼쪽 모듈(left module)이라고 한다. 왜냐하면, 식 $\kappa a$에서 스칼라$\kappa$가 모듈의 원소 $a$의 왼쪽에 쓰여졌기 때문이다.
+
+## 선형변환(Linear transformations)
+- main article : [선형변환](/선형변환)
+모듈의 사상(Homomorphism)은 선형변환이다.
+
+## 부분모듈(Submodules)
+
+## 잉여모듈(Quotient modules)
+
+## 자유모듈(Free modules)
+
+## Biproducts
+
+## 쌍대모듈(Dual modules)
+
+지금까지 다룬 것은 스칼라가 왼쪽에 붙은 left module이다. right module은 스칼라가 오르쪽에 붙는다.
+쌍대 모듈은 

벡터공간.md

@@ -0,0 +1,329 @@
+---
+title: 벡터공간(Vector space)
+description: 벡터공간
+published: true
+date: 2020-10-24T14:41:55.900Z
+tags: 선형대수, 대수
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-22T11:33:05.470Z
+---
+
+# 벡터공간(Vector space)
+벡터공간은 체 $F$위의 [모듈(Module)](/모듈(수학))이다.
+
+어떤 벡터 리스트 $\textbf v=( v_1,v_2,\cdots, v_n)$가 있으면, 벡터 리스트를 의 일차결합을 생각할 수 있다.
+
+$$a_1 v_1+a_2 v_2+\cdots+a_n v_n = \sum a_i v_i$$
+
+이러한 일차 결합을 선형조합이라고 한다.  
+
+## 기저와 좌표(bases and corddinates)
+
+어떤 벡터 $w$를 벡터 리스트 $\textbf v$에 대해서 $w=\sum{v_n\xi_n}$ 로서 $\xi_n$으로 표현할 때,
+그 리스트 $\textbf v$가 공간 $V$를 생성(span)한다는 것은 $\xi_i$으로 **적어도** 한가지로 표현한다는 것이고,
+리스트 $\textbf v$가 공간 $V$의 기저(basis)라는 것은 $\xi_i$으로 **정확히** 한가지로만 표현된다는 것이고,
+리스트 $\textbf v$가 공간 $V$에 선형독립(linearly independent)라는 것은  $\xi_i$으로 **최대** 한가지로 표현된다는 것이다.
+가장 마지막의 선형 독립에 대한 조건을 바꾸어보면,
+$$\begin{alignedat}{2}
+ \sum v_i \xi_i&=\sum v_i\eta_i &\Rightarrow \xi_i=\eta_i\\
+ \sum v_i(\xi_i-\eta_i)&=0 &\Rightarrow \xi_i -\eta_i=0\\
+\sum v_i\lambda_i&=0 &\Rightarrow \lambda_i=0\\
+\end{alignedat}\\
+$$
+으로 영벡터에 대하여 유일하게 모두 계수가 0으로만 표현된어야 한다는 것을 의미한다.
+
+### Proposition 1
+$L_{\textbf v}:F^n\rightarrow V$, $L_{\textbf v}(\xi)=v_1\xi_1+\dots+v_n\xi_n$
+이란 함수를 정의하면,
+
+- 리스트 $\textbf v$ 가 공간 $V$를 생성(span)한다 $\Leftrightarrow$ $L_{\textbf v}$ 는 epimorphism이다.
+- 리스트 $\textbf v$가 $V$에서 선형독립(lineary independence)이다 $\Leftrightarrow$ $L_{\textbf v}$는 monomorphism이다.
+- 리스트 $\textbf v$가 $V$의 기저(basis)이다. $\Leftrightarrow$ $L_{\textbf v}$는 isomorphism이다.
+#### 증명
+단순하게 $L_{\textbf v}$는 선형조합이므로 [선형변환](/선형변환)이다. 자세하게는 리스트 ${\bf \xi, \eta}$에 대해서,
+$$L_{\textbf{v}}({\bf \xi + \eta})=\sum_i v_i(\xi_i+\eta_i)=\sum_iv_i\xi_i+\sum_iv_i\eta_i=L_{\textbf{v}}({\bf \xi})+L_{\bf v}(\eta)$$
+이고, 스칼라 $\kappa$에 대해,
+$$L_{\textbf{v}}({\bf \xi}\kappa)=\sum_iv_i(\xi_i\kappa)=\sum_i(v_i\xi_i)\kappa=L_{\textbf{v}}({\bf \xi})\kappa$$
+이므로 선형변환이다.
+$L_{\textbf v}$가 공간 $V$를 생성한다는 것은 어떤 벡터 $w$에 대해서, $L_{\textbf v}(\xi)=w$인 $\xi$가 있다는 것이므로, epimorphism이다. 비슷하게 선형독립이란 것은 monomorphism이고, 기저라는 것은 isomorhpism이다.
+
+이로부터 좌표(Coordinate)를 정의할 수 있다.
+
+### 좌표(Coordinate)
+기저(basis) $\bf b$ 가 있어 $v=b_i\xi_i+\cdots b_n\xi_n$ 이면,
+$\xi_n$는 기저가 $\bf b$인 $v$의 좌표(coordinates of $\bf v$ relative to a basis $b$)이다.
+이때 리스트 $\textbf b: n\rightarrow V$는 벡터공간 $V$의 기저(basis)이다.
+
+### Theorem 2.
+주장 1(Proposition 1)에서 $L_b:F^n\cong V$임으로, $F^n$는 [자유모듈](/모듈(수학)#자유모듈free-modules)(free module)이다. 그러므로 $L_b(\epsilon_i)=b(i)$라고 할 수 있다.
+
+기저(basis)가 $b$인 벡터공간(vector space) $V$은 $b$의 벡터들이 자유생성원(free generator)인 자유 F-모듈(free F-module)이다.
+
+### Proposition 3
+벡터 리스트가 선형종속(linearly dependent) 할때 생성원 하나 줄이면:
+$v_k=v_i(-\xi_1\xi_k^{-1})+\cdots+v_{k-1}(-\xi_{k-1}\xi_k^{-1})$
+그에 따른 결과로
+#### Corollary
+유한한 종류의 벡터공간은 기저를 가진다.
+나눔환(division ring)에서도 성립한다.
+
+## 차원(Dimention)
+
+### THEOREM 4
+
+같은 벡터공간 $V$에서 선형 독립 $m$ 벡터 리스트 $\bf{v}$있을 때, 벡터공간 $V$을 생성(span)하는 어떤 $n$ 벡터 리스트든지 $n\geq m$이다. 더 나아가, $\bf{v}$를 포함하는 $n$ 벡터 리스트는 $V$를 생성(span)할 수 있다.
+
+증명 : 수학적 귀납법 사용하자.
+
+$m=0$일 때, 결과는 자명하다.
+
+$m=m$일 때, $m$ 독립 벡터의 모든 리스트에 대해 성립한다고 가정하자.
+이제 $\bf{v}$가 $m+1$ 선형독립벡터 리스트라고 하자.
+귀납 가정에 의해서, 
+$(v_1,v_2,\cdots ,v_m,w_1,\cdots,w_{n-m})$ 는 $V$를 생성한다.
+그러면 $v_{m+1}$도 생성 가능하다.
+
+$$\tag{3} v_{m+1} = v_1\xi_1+\cdots +v_m\xi_m+w_1\eta_1,\cdots,w_{n-m}$$
+
+만약 $m=n$ 이면, $w_i$는 없고 그럼 $v_{m+1}$이 $v_1,\cdots,v_m$에 대해 표현되니 $v_1,\cdots,v_m,v_{m+1}$이 선형독립이라는 가설에 모순. 그래서 $m+1 \leq n$ 이다.
+
+Adjoint $v_{m+1}$.
+
+$(v_1,v_2,\cdots ,v_m,v_{m+1},w_1,\cdots,w_{n-m})$
+
+이것도 여전히 $V$를 생성한다.
+
+위의 (3)에 의해 선형 종속이다.
+
+Proposition 3에 의해서 벡터 하나를 뺄 수 있다.
+
+$v_1,\cdots,v_{m+1}$이 선형독립이기에 $w$에서 뺼 수 있다.
+
+빠지는 벡터를 $w_j$라 하면,
+
+$(v_1,v_2,\cdots ,v_m,w_1,\cdots,w_{j-1},w_{j+1},\cdots,w_{n-m})$
+
+여전히 $V$ 생성한다 그리고 containing the whole list $V$.
+
+수학적 귀납법 끝. 증명 끝.
+
+#### Corollary 1 Invariance of Dimension
+
+유한 타입의 벡터 공간 $V$의 아무 두 기저는 같은 수의 기저를 가지고 있다.
+
+증명 : $(b_1,b_2,\cdots ,b_m)$와 $(c_1,c_2,\cdots ,c_n)$를 두 $m$ 벡터 기저와 $n$ 벡터 기저라고 하자. 그러면, 
+
+|선형독립|$V$를 생성||결론|
+|:---|:---:|---:|---|
+|$b$|$c$|implies|$m\leq n$|
+|$c$|$b$|implies|$n\leq m$|
+
+그래서 $n=m$이다. 증명 끝.
+
+$V$의 기저의 벡터의 개수를 차원(dimension)이라고 부르고, $\dim V=n$이라고 표기한다. $\dim V$가 무한이라는 것의 의미는 $V$가 유한한 기저를 가지고 있지 않다는 것이다. 이 정의에 의해 $\dim F^n=n$ 이다. 유한한 타입의 벡터공간을 유한차원 벡터공간이라고 부른다.
+
+#### Corollary 2
+
+$n$ 차원 벡터공간 $V$에서
+
+- (i) 아무 $V$의 $n+1$ 벡터들의 리스트는 선형종속이다.
+- (ii) $V$를 생성하는 $n-1$ 벡터들의 리스트는 없다.
+
+---
+### Theorem 5
+
+In a 유한 차원 벡터 공간 $V$:
+
+- (i) 어떤 선형독립 벡터들 리스트를 잡든 그것은 기저의 일부분이다. 
+- (ii) $V$를 생성하는 벡터들 리스트는 기저를 포함한다.
+
+증명 : To prove (ii), Apply reduction process in proposition 3.
+
+As for(i), find the list of vectors spanning $V$, which must exist.
+
+Apply reduction process in theorem 4.
+
+### Corollary
+
+$n$ 차원 벡터공간 $V$에서
+
+- (i) 아무 $V$의 $n$ 선형독립벡터들의 리스트는 기저이다.
+- (ii) $V$를 생성하는 $n$ 벡터들의 리스트는 기저이다.
+
+증명: For(i), $v$가 $n$ 선형독립벡터 리스트라고 하자.
+
+그럼 $v$는 기저의 일부분이다.
+
+기저는 $n$개의 원소인데. (ii)도 비슷하다.
+
+### Proposition 6. 아무 codomain이 유한차원 $V'$인 monomorphism $s:V\rightarrow V'$는 linear left inverse를 가진다. 아무 codomain이 유한 차원 $V$인 epimorhpism $V\rightarrow V'$도 linear right inverse를 가진다.
+
+증명 : $V$가 $m$ 차원이고 $V'$이 $n$ 차원이라 하자.
+
+s가 monomorphism 이니까 $V$에서 선형독립이면 $V'$에서 선형독립이고 $m\leq n$ 이다.
+
+$V$에서 $m$ 벡터의 기저 $\bf b$를 고르자.
+
+그럼 $s({\bf b})$도 $V'$에서 선형독립이다.
+
+$V'$에서 $s(\bf b)$를 포함한 기저를 만들고 $(s(b_1),s(b_2),\cdots,s(b_m),b'_{m+1},\cdots,b'_n)$ 이라고 지칭하자.
+
+이것은 free $F$-module $V'$ 의 free generator list 이므로 
+
+선형 사상 $t:V'\rightarrow V$ : 
+$$\begin{cases}
+t(s(b_i))=b_i &\text{for }i\in \bf{m}\\
+t(b'_j)=0 &\text{for each } i = m+1,\cdots,n
+\end{cases}$$
+ 를 정의할 수 있다.
+
+그래서 $(t\circ s)(b_i)=b_i$,
+
+그러므로 $t\circ s$ 는 무조건 identity $V\rightarrow V$ 이니 $t$ 는 left inverse 다.
+
+두번째 epimorphism 은 spanned 가지고 비슷하게 하면 된다.
+
+## 기저로 만들기(Construction for bases)
+
+### Proposition 7
+
+$S$ 가 유한차원벡터공간 $V$의 부분공간(subspace)면, 
+각각의 $S$의 기저는 V 기저의 일부분이다.
+그래서, $\dim S \le \dim V$; 더욱이, $\dim S \lt \dim V$ 이면 $S$는 $V$의 진부분공간(proper subspace)이다.
+
+Proof: $S$에서 선형독립 벡터리스트는 $V$에서도 선형독립이다.
+$V$에서 선형독립인 벡터 리스트는 Theorem 5에 의해 기저의 일부분이다.
+더나아가, $S$의 기저는 $V$의 모든 벡터들이 $S$안에 있을때, 전체공간 $V$의 기저이다.
+
+Combine 기저 v, w
+$$v\vee w=(v_1,\cdots,v_m,w_1,\cdots,w_r)$$
+
+### Theorem 8 
+
+만약 $t:V \rightarrow V'$가 유한차원정의역의 선형번환이면,
+
+$$\dim V = \dim (\text{Ker}\;t)+\dim (\text{Im}\;t)\qquad(10)$$
+
+더 자세하게는 $\text{Ker}\;\bf t$의 기저 $v$가 $V$의 기저 $\bf v\vee w$의 일부분이면, $t\circ {\bf w}$는 $\text{Im}\;t$의 기저이다.
+
+증명 : Think proposition 7
+
+$\bf v\vee w$에서 $v\in V$를 선형조합으로 나타내면,
+
+$$v=\sum v_i\xi_i+\sum w_j\eta_j\qquad(t(v_i)=0)$$
+
+로 나타낼수 있다.
+
+$t(v)=\sum t(w_j)\eta_j$ 니까 $\bf w$는 $\text{Im}\;t$를 생성한다.
+
+반면에, $\sum (tw_j)\eta_j=0 \Leftrightarrow t(\sum w_j\eta_j)=0$ 이면 kernel.
+
+so, $\sum w_j\eta_j=\sum v_i\xi_i$인데 그러나 $\bf v\vee w$는 선형독립. 그래서 기저 $\bf v$는 선형독립. 선형독립이고 $\text{Im }V$ 생성하니 기저. 증명 끝.
+
+
+$\text{rank }t=\dim(\text{Im }t), \text{nullity }t=\dim(\text{Ker t})$
+
+(10) states that "rank plus nullity equals dimension of domain."
+Sometimes $\text{Ker }t$ is called the "nullspace", and $\text{Im }t$ the "range" of t.
+
+#### Corollary 1. 두 벡터 공간 $V$와 $V'$이 각각의 유한차원 $n$과 $n'$을 가지고 있으면 선형사상 $t:V\rightarrow V'$의 $\text{rank }r$은 기껏해야 최대 $n$과 $n'$ 작은 것 이다.
+
+For each such map $t$, there is a basis $b$ of $V$ and a basis $b'$ of $V'$ such that
+
+$$tb_1=b',\cdots,tb_r=b_r',tb_{r+1}=0,\cdots,tb_n=0$$
+
+#### Corollary 2. $V$와 $V'$가 같은 유한차원의 벡터공간이라 하자. 아무 epimorphism t 나 아무 monomorphism t는 isomorphism 이다.
+
+Proof: 
+
+$\dim \text{Im }t=n$ 라는 것은 $\dim \text{Ker }t=0$ 이란 것이고 그러면 morphism $t$는 isomorphism 이다.
+반대로, $\dim \text{Ker }t=0$ 라는 것은 $\dim \text{Im }t=n$ 이란 것이고 그러면 역시 morphism $t$ 가 isomorphism 이다.
+
+#### Corollary 3. $\dim (V/S)=\dim V-\dim S$
+
+#### Corollary 4.
+
+$S$가 $V$의 부분공간이면 $V$의 direct summand고, $V$의 부분공간 $T$가 존재해서 $S+T=V$이고 $S\cap V=0$ 이다. 더더욱, $T\cong V/S$ 이다.
+
+---
+
+### Proposition 9
+
+만약 벡터공간 W는 두 유한차원 부분공간 $V_1$과 $V_2$의 직합이면, $V_1$의 기저 $b'$ 와 $V_2$의 기저 $b''$에 대해 $b'\vee b''$는 $W$의 기저이다. 그런 이유로 $W$는 유한차원이고 $\dim W = \dim V_1 + \dim V_2$
+
+$V_1\oplus V_2$ 가 직합(direct sum)이라고 하자. 그러면, 
+
+#### Corollary 1. $\dim(V_1\oplus V_2)=\dim V_1+\dim V_2$
+
+#### Corollary 2. $\dim(S+T)=\dim S+\dim T - \dim(S\cap T)$
+
+proof: 
+
+$$\begin{aligned}\\
+\dim(S+T)&=\dim ((S+T)/(S\cap T)) + \dim(S\cap T)\\
+&=\dim (S/(S\cap T))+\dim (T/(S\cap T))+ \dim(S\cap T)\\
+&=\dim S+\dim T - \dim(S\cap T)
+\end{aligned}$$
+
+### Proposition 3
+
+$\dim(V^{\bf m})=m\dim V \qquad(15)$
+
+증명:m=1, (15) is immediate.
+assume (15) for some m.
+$V^{\bf m+1}$ is $f:{\bf m+1}\rightarrow V$
+
+assigned to $(f',f(m+1))$
+
+$V^{\bf m+1}\cong V^{\bf m}\oplus V$
+
+#### Corollary $\dim[\text{Hom}(V,V')]=(\dim V)(\dim V')$
+
+proof: $\text{Hom}(V,V')\cong(V')^n\qquad n=\dim V$.
+
+## 쌍대로 묶인 벡터공간(Dually paired vector space)
+벡터 공간 $V$를 right $F$-Module 로 보면, 그 쌍대(dual)은 left $F$-Module로 볼 수 있는 $V^* = \text{Hom}_F(V,F)$ 이다.
+
+$f \in V^*$에 대해 생각해보자.
+$$\begin{aligned}
+f(v)&=f(b_1\xi_1+\cdots+b_n\xi_n)\\
+ &=f(b_1)\xi_1+\cdots+f(b_n)\xi_n
+\end{aligned}$$
+이니까 $f$는 $fb_1, \cdots,fb_n$에 의해 유일하게 결정된다.
+$f\mapsto f\cdot \bf{b}$ 인 morphism을 생각하면 isomorphism 이다.($f:V\rightarrow F, f\cdot {\bf b} : F^{n} \rightarrow F$)
+$$\begin{aligned}
+\delta_{ij} &= 1 \text{ for } i=j\\
+&=0 \text{ for }i\neq j
+\end{aligned}$$
+를 크로네커 델타 기호라 부른다.
+
+$fb_i=\lambda_i$라 하면, $f$는 $\lambda_i$에 대해 유일하게 결정된다.
+
+$x_i\cdot b_j = \delta_{ij}$ 인 $x_i$를 잡으면
+
+$f = \sum\lambda_ix_i$ 라고 할수 있다.
+
+그럼 $x_1\cdots x_n$ 는 기저이다.
+
+이 결과로 당연히 $\dim V^*=n$이다.
+
+### Lemma 1. 0이 아닌 linear form $f \in V$에 대해서 적어도 $f(v)=1$ 인 $v$가 존재한다.
+
+증명 : 이것은 자명하다. $f \ne 0$ 이면, $f(u)\ne 0$ 인 어떤 벡터 $u$가 존재한다. 그러면 적당한 역원을 곱해서 $f(v)=1$ 인 벡터를 얻을 수 있다.
+
+### Lemma 2. 0이 아닌 유한차원벡터공간의 벡터 $u$ 에 대해서, 적어도 $f(u)=1$인 linear form이 존재한다.
+
+증명 : $u\ne 0$이면, u는 선형 독립이므로, $V$ 기저의 일부분이다.
+f 를 그 기저의 dual 기저로 잡으면 된다.
+
+$f\in V^*$ 는 변수 $v$에 대해서 $v\mapsto f(v)$로 정의된다. 만약에 $v$를 고정하고 $f$를 변수라고 생각하면, $f\mapsto f(v)$는 $V^*\rightarrow F$ 인 함수가 된다.
+
+이 함수에게 $\omega(v):V^*\rightarrow F$라고 이름 붙여주자. 그럼 $\omega$는 $V\rightarrow V^{**}$ 로 대응되는 함수이다.
+
+### Corollary 3. 모든 유한차원 벡터공간 $V$는 자기 자신의 이중 dual $V^{**}$와 $(\omega v)(f)=f(v)$로 정의된 morphism $\omega$의해 동형이다.
+
+증명 : $\omega$가 선형인건 자명하다. Lemma 2는 $\text{Ker}(\omega) = 0$임을 보인다. ($V^{**}$에서 0은 $\omega({\bf 0})$이다.) 그리고 $\dim V=\dim V^*=\dim V^{**}$이니까, $\omega$는 동형사상이다.
+
+$V\cong V^*$는 기저를 정하고 동형사상을 만들었던 반면에,사상 $\omega: V \rightarrow V^{**}$는 어떤 기저에 대한 언급 없이 정의 되었다. 이러한 $\omega$를  natural map 이라고 함.
+
+Anihilator

선형대수.md

@@ -0,0 +1,42 @@
+---
+title: 선형대수학
+description: 선형대수학
+published: true
+date: 2020-09-22T11:55:39.992Z
+tags: 선형대수, 대수, linear algebra, mathmatics
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-21T13:09:09.265Z
+---
+
+# 선형대수(linear algebra)
+
+선형대수는 $a_1x+\cdots+a_nx=b$ 같은 일차식과 [선형변환](/선형변환)에 대해서 다루는 수학의 한 갈래이다.
+선형대수는 다음과 같은 내용을 포함한다.
+
+## 벡터공간(vector space)
+- main article : [벡터공간](/벡터공간)
+
+현대적으로 선형대수학은 벡터공간 V에 대해서 다루어진다. 벡터공간은 단순히 [체](/체(수학)) $F$위의 [모듈](/모듈(수학))이다.
+구체적으로는, 스칼라들의 [체](/체(수학)) $F$상에서의 집합 $V=\lbrace (a_1,a_2,\cdots,a_n): a_i \in F \rbrace$ 에 아래 두 개의 이항연산이 정의되고 이 연산들과 함께 $V$의 성분들이 2개의 기본 조건과 8가지의 연산법칙을 만족하면 $V$가 주어진 벡터의 덧셈 및 스칼라배 연산 과 함께 [벡터공간](/벡터공간)을 이룬다고 하고 $(V,+,\cdot)$를 벡터공간이라고 하며 그 안의 원소를 벡터라고 한다. 공리로부터 이 벡터들은 덧셈과 함께 [아벨군](/아벨군)을 형성하고 벡터에 스칼라를 곱하는 곱셈(스칼라 곱)은 아래식을 만족한다.
+
+$$\begin{aligned}
+a(\textbf{v}+\textbf w)=a\textbf v+a \textbf w, 1\textbf v=\textbf v \\
+(a+b)\textbf v= a \textbf v+b \textbf v,(ab)\textbf v=a(b\textbf v)
+\end{aligned}$$
+
+이 식에서 $\textbf v$와 $\textbf w$는 공간 $V$에 속하는 벡터이고, $a,b$는 체 $F$ 에 속하는 스칼라이다.
+
+## 선형조합(linear combination)
+
+어떤 벡터 리스트 $(\textbf v_1,\textbf v_2,\cdots,\textbf v_n)$가 있으면, 벡터 리스트를 의 일차결합을 생각할 수 있다.
+
+$$a_1\textbf v_1+a_2\textbf v_2+\cdots+a_n\textbf v_n = \sum a_i\textbf v_i$$
+
+이러한 일차 결합을 선형조합이라고 한다.   
+주어진 n개의 백터의 모든 일차결합에 의해 만들어지는 집합은 $V$의 부분공간(subspace)을 이룬다. 이 부분공간을 $\textbf v_1,\textbf v_2,\cdots,\textbf v_n$에 의하여 생성된(spanned) $V$의 부분공간이라고 한다. $\sum a_i\textbf v_i=0$인 일차결합에서 모든 계수가 0인 경우에만 일차결합의 값이 0이 되는 경우에, $\textbf v_1,\textbf v_2,\cdots,\textbf v_n$을 일차독립(linear independent)이라 한다. 벡터공간 $V$에 속하는 모든 벡터가 일차 독립인 $\textbf v_1,\textbf v_2,\cdots,\textbf v_n$들에 의하여 오직 한가지의 일차결합으로만 표현될 때, $\textbf v_1,\textbf v_2,\cdots,\textbf v_n$를 유한차원 벡터공간 $V$의 기저(basis)라고 한다. 기저를 이루는 벡터들은 일차독립이어야 한다. 같은 벡터공간의 두 기저벡터는 같은 수의 원소를 가지고 있는데 이 원소의 수를 그 공간의 차원, $\dim V$이라고 한다.
+
+## 선형변환(linear transformation or linear map)
+- main article : [선형변환](/선형변환)
+
+
+

선형변환.md

@@ -0,0 +1,25 @@
+---
+title: 선형변환
+description: linear transformation 아님 linear map
+published: true
+date: 2020-09-22T11:55:39.992Z
+tags: 선형대수, 대수, mathmatics
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-21T13:19:14.157Z
+---
+
+# 선형변환
+
+$$\begin{aligned}
+t(\textbf v+\textbf w)&=&a\textbf v+a\textbf w \\
+t(a\textbf v)&=&at(\textbf v) \end{aligned}$$
+선형 변환이란 다음과 같이 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 변환이다.
+
+이 변환은 [모듈](/모듈(수학))의 [사상](/사상(수학))이다.
+
+## 선형성이란
+어떤 효과가 '선형적이다' 라고 말하는 것은 그 효과가 비례의 관계가 있다는 것과, 전체 효과는 부분 효과의 합으로 나타내진다는 것을 뜻한다.
+## 선형변환의 예
+$R^3$에서 회전이나 평행이동, 잡아늘리는 변환, 투영이 선형변환이다.
+
+미분연산자와 적분연산자는 함수 공간에서의 선형변환이다.

스킴.md

@@ -0,0 +1,13 @@
+---
+title: 스킴(Scheme)
+description: 
+published: true
+date: 2020-09-29T15:18:28.556Z
+tags: 
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-29T05:16:23.743Z
+---
+
+# 스킴(Scheme)
+
+스킴은 [리스프(lisp)](/리스프)의 방언이다.

스택(자료구조).md

@@ -0,0 +1,22 @@
+---
+title: 스택(Stack)
+description: 자료구조 스택
+published: true
+date: 2020-09-22T07:26:15.886Z
+tags: 컴퓨터
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-22T07:12:51.265Z
+---
+
+# 스택(Stack)
+
+LIFO(Last in first out)
+
+```rust
+trait Stack<T>{
+  fn push(&mut self,item :T) -> Result<()>;
+  fn pop(&mut self) -> Result<T>;
+  fn is_empty() -> bool;
+  fn size() -> usize;
+}
+```

아벨군.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+---
+title: 아벨군(abelian group)
+description: 아벨군
+published: true
+date: 2023-02-11T12:45:33.712Z
+tags: 대수, mathmatics
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-21T14:16:27.615Z
+---
+
+# 아벨군(abelian group)
+아벨군은 교환법칙이 성립하는 [군](/군(수학))이다. 교환군(commutative group)이라고도 부른다.
+
+## 성질
+
+아벨군$(G,+)$은 $\forall a,b \in G,a+b=b+a$이다.
+어떤 아벨군은 $\Z_n$ 군의 곱으로 나타낼수 있다.

장수누리파크.md

@@ -0,0 +1,31 @@
+---
+title: 장수누리파크
+description: 장수 누리파크
+published: true
+date: 2020-10-01T09:16:25.638Z
+tags: 
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-10-01T09:15:11.016Z
+---
+
+# 장수 누리파크
+
+![장수누리파크_메인.jpg](/장수누리파크/장수누리파크_메인.jpg)
+
+4인승 자전거 탈 수 있음
+
+10-01 월~금 무료. 주말 카페에서 시키면 무료로 이용 가능.
+
+오전 8시에 시작하고, 오후 5시에 마감한다.
+
+고추 잠자리원
+
+![장수누리파크_고추잠자리.jpg](/장수누리파크/장수누리파크_고추잠자리.jpg)
+
+이 연못에 연들이 차있다.
+황소 동상이 있다.
+
+중앙에는 꽃이 있다.
+
+의자가 이쁘다.
+

집합(수학).md

@@ -0,0 +1,31 @@
+---
+title: 집합(Set)
+description: 수학에서의 집합
+published: true
+date: 2020-09-24T10:41:33.571Z
+tags: 
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-22T11:24:09.319Z
+---
+
+# 집합(Set)
+집합은 직관적으로 원소들의 모임이다.
+집합을 구성하는 방법은 여러가지가 있다.
+## 순진한 집합론(Naive set theory)
+
+직관적으로 집합(set)은 원소의 모임이고 함수는 원소를 다른 원소에 대응시키는 규칙이다. 집합의 예로, 모든 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$나 모든 정수의 집합 $\natnums$, 모든 실수의 집합 $\mathbb{R}$이 있다. 유한한 갯수의 원소를 가진 집합은 그 모든 원소를 괄호 안에 나열함으로서 나타낼 수 있다. 예를 들어, 0에서 8까지 포함하는 사이의 모든 짝수를 $\{0,2,4,6,8\}$라고 밝힐 수 있고 6의 양의 약수의 집합을 $\{1,2,3,6\}$ 이라고 쓸 수 있다. 이때 원소를 나열하는 순서는 상관없다. 예를 들면 $\{1,2,3,6\}=\{1,3,6,2\}$ 이다.
+
+좀더 형식적으로, "$x \in S$"라는 것은 "$x$가 집합 $S$의 원소(element)이다."나 "$x$가 집합 $S$의 구성원(member)이다.", "$x$는 $S$에 속한다."를 나타낸다. "$x \notin S$"는 $x$가 집합 $S$에 속하지 않는다는 것이다. 집합은 속하는 원소에 의해서만 결정되므로, 집합 S와 T가 같다는 것은
+$$\tag{1} S=T \iff \forall x( x \in S  \iff x \in T ) $$
+로 정의된다. "S가 T에 속한다", "S가 T의 부분집합이다"라는 것은 S의 모든 원소가 T의 원소라는 것이고, 기호로는
+$$\tag{2} S\subset T \iff \forall x (x \in S \implies x \in T) $$
+라고 한다. 정의를 보면
+$$\tag{3} S \subset T \land T \subset S \iff S = T$$
+라는 것을 쉽게 알 수 있다.
+
+공집합이란 원소를 하나도 가지지 않은 집합을 말한다. (1)의 정의에 따라서 모든 공집합은 같다. 공집합은 기호로 $\emptyset$ 으로 쓴다.
+
+## ZFC 집합론(ZFC set theory)
+
+
+러셀의 역설

행렬.md

@@ -0,0 +1,58 @@
+---
+title: 행렬(Matrices)
+description: 행렬
+published: true
+date: 2020-09-22T14:00:28.667Z
+tags: 선형대수, 대수, mathmatics
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-21T16:08:48.764Z
+---
+
+# 행렬(Matrices)
+
+행렬은 적당한 기저를 정해서 만들어진 순서쌍이다.
+
+## 정사각행렬(sqaure matrices)
+$n \times n$ 꼴인 행렬이다.
+## 대각행렬(diagonal matrix)
+대각선에만 숫자가 있고, 나머지는 0인 행렬이다.
+formal하게는,
+$$A = \lbrack a_{ij}\rbrack  (a_{ij}=0\text{ if } i\neq j)$$
+인 행렬이다.
+
+## 역행렬(Inverse matrices)
+
+행렬이 정사각행렬이면, 다음과 같은 조건을 만족하는 행렬$A$을 생각할 수 있다. 
+$$A^{-1}A= I = AA^{-1}$$
+이때, $A$를 invertible하다고 하고, $A^{-1}$을 A의 역행렬("$A$ invsere","the inverse of $A$")이라고 한다.
+
+성질들:
+* 만약 $A$가 invertible하면, 선형연립방정식에 대해서 $Ax=b \iff x=A^{-1}b$.
+* 행렬 A가 non-singular면 A는 invertible 하다. 반대로 A가 invertible하면 non-singular다.
+* non-zero vector $\textbf x$에 대해서 $A\textbf x=0$이라면, A는 invertible하지 않다.
+* 당연히 각각의 행렬 $A$에 대하여 각각의 역행렬$A^{-1}$은 유일하다.
+
+2x2 matrix $A =\begin{bmatrix}a&b\\ c& d\end{bmatrix}$의 역행렬 공식:
+$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
+d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$$
+
+$ad-bc$가 0이라면 역행렬은 존재하지 않는다. 여기서 $ad-bc$는 행렬 $A$의 [행렬식(Determinant)](/행렬식)이다.
+
+간단하게, [대각행렬](#대각행렬diagonal-matrix)의 역행렬은
+$$\begin{bmatrix}
+d_1&0&\cdots &0 \\
+0 &d_2 &\cdots& 0 \\
+\vdots & \vdots&&\vdots\\
+0 &0&\cdots&d_n
+\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}
+\frac{1}{d_1}&0&\cdots &0 \\
+0 &\frac{1}{d_2} &\cdots& 0 \\
+\vdots & \vdots&&\vdots\\
+0 &0&\cdots&\frac{1}{d_n}
+\end{bmatrix}$$
+
+## 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)
+
+$AX=I$인 $X$를 구하기 위해서 [기본 행 연산(Elementary operation)](/기본행연산)을 곱해서,
+Upper traiangle form이나 echelon form을 만들어서 구한다.
+

행렬식.md

@@ -0,0 +1,34 @@
+---
+title: 행렬식(Determinants)
+description: 행렬식
+published: true
+date: 2020-09-23T13:57:53.743Z
+tags: 선형대수, 대수
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-22T14:00:24.726Z
+---
+
+# 행렬식(Determinant)
+
+## Multilinear and alternating functions
+먼저 이중선형(bilinear)에 대해서 생각해보자.
+이중선형함수는 각각 변수에 대해서 선형인, 두 변수를 받는 함수이다. 예를 들어 $V$가 벡터공간이고 $V^*$가 그 듀얼이라고 하면 $e:V^*\times V \rarr F, e(f,v)=f(v)$라는 evaluation 함수에 대해 생각해보자.
+
+$f$를 고정하면, 
+$$e(f,v_1k_1+v_2k_2)=e(f,v_1)k_1+e(f,v_2)k_2$$
+왜냐하면 $f$는 선형이기 때문이다. 반대로 $v$를 고정하면,
+$$e(k_1f_1+k_2f_2,v)=k_1e(f_1,v)+k_2e(f_2,v)$$
+이다. 그러므로 함수 $e$는 이중선형이다. 일반적으로 $C$와 $D$가 두 $K$-모듈이라고 하자. 그러면
+### 이중선형(Bilinear)
+$C\times D$를 오른쪽 $K$-모듈 $E$로 대응시키는 $K$-이중선형함수 $h$는 다음과 같은 property를 가진 함수 $h:C\times D \rarr E$이다.
+$$h(c_1k_1+c_2k_2,v)=h(c_1,v)k_1+h(c_2,v)k_2\\
+h(c,d_1k_1+d_2k_2)=h(c,d_1)k_1+h(c,d_2)k_2$$
+
+
+scewed
+
+## Determinants of matrices
+
+## Cofactors and cramer's rule
+
+## Determinants of maps

환(수학).md

@@ -0,0 +1,57 @@
+---
+title: 환(Ring)
+description: 대수에서의 환
+published: true
+date: 2020-09-23T12:14:24.004Z
+tags: 대수
+editor: markdown
+dateCreated: 2020-09-22T12:10:21.670Z
+---
+
+# 환(Ring)
+
+환(Ring) $R = (R,+,\cdot,1)$은 다음과 같은 두 이항연산과 원소 1있는 집합 $R$이다.
+- $(R,+$)는 [아벨군](/아벨군)이다.
+- $(R,\cdot,1)$은 [모노이드(Monoid)](/모노이드)이다.
+- 곱은 분배적이다.
+
+마지막 조건은 뜻하는 것은 $a,b,c \in R$인 모든 세 원소가,
+$$a(b+c)=ab+ac,\text{		}(a+b)c=ac+bc$$
+를 만족한다는 것이다.
+
+## 환 만들기(Constructions for rings)
+한 환(Ring)으로부터 여러가지 환을 만들기.
+### 부분환(Subrings)
+
+### Function ring
+
+환 R과 집합 X에 대해서 $R^X$의 덧셈과 곱셈을
+$$(f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x)$$
+라고 하면 환을 이룬다.
+
+### $\text{End}(A)$
+
+[아벨군](/아벨군)의 endomorphism으로도 환을 만들 수 있다.
+아벨군 $A$에 대해서, 그 $\text{End}(A)$를 원소로 하고 덧셈과 곱셈을 이렇게 정의하자.
+$f,g\in End(A)$와 $a\in A$에 대해서,
+$$(f+g)(a)=f(a)+g(a), (f\cdot g)(a)=f(g(a))$$
+라고 하면 이것이 환(Ring)이 된다.
+#### 증명
+
+## 잉여환(Quotient rings)
+
+## 정역과 체(Integral Domain and field)
+
+## 다항식환(polynomial rings)
+
+## 함수로서의 다항식(Polynomials as functions)
+
+## 나눗셈 알고리즘(The division algorithm)
+
+## 주아이디얼역(Principal ideal domains)
+
+## 소체(Prime fields)
+
+## 유클리드 알고리즘(The euclidean algorithm)
+
+## 교환잉여환(Commutative quotient rings)